收录：计算机数学故事
作者：YY同学Serendipity
绘图：勤奋的三塔同学🍊
简述
微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，较多出现在证明题中，该知识点往往考察联想记忆以及灵活运用定理的能力，整体难度中。
一、罗尔（Rolle）中值定理
1. 定义
如果函数
满足以下三个条件：
1.在闭区间 上连续
2.在开区间 上可导
3.
则在内有一点 ，满足
2. 证明
如果
是常函数，则显然恒存在
如果不是常函数，假设在 处取到 ，则
因为 可导，即 所以得证
3. 几何意义
一定存在一条绿线（函数的切线）与
轴平行，如图：
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
1. 定义
如果函数
满足以下两个条件：
1.在闭区间 上连续
2.在开区间 上可导
则在内有一点 ，满足
2. 证明（采用函数构造法+罗尔定理）
我们先不急着证明，先观察定理的结论。我们会发现，如果将结论进行一下变形：
其结果是不是很像罗尔定理最后 的结论，因此我们需要构造函数 使 尽量与上式左边相同。我们将含有 的项当作自变量 然后积分找到 这样 然后考虑罗尔定理应用的条件是需要找到 因此当 时有 根据罗尔定理，则在 内有一点 ，满足 因此 变形之后即为拉格朗日中值定理的结论
3. 几何意义
一定存在一条切线，它的斜率等于线
的斜率（即两线平行），如图：
三、柯西（Cauchy）中值定理
1. 定义
如果函数
满足以下两个条件：
1.在闭区间 上连续
2.在开区间 上可导且
则在内有一点 ，满足
2. 证明（采用函数构造法+罗尔定理）
同理，受拉格朗日中值定理证明的启发，我们先给原式做变形：
然后积分找到 当 时恰好有 所以根据罗尔定理有 变形之后即为柯西中值定理的结论，定理得证
3. 几何意义
一定存在一条绿线（函数的切线）与红线平行，如图：
小结
可能细心的同学已经发现了，对于微分中值定理其实有：
即拉格朗日中值定理是柯西中值定理 时的特例，而罗尔中值定理也是拉格朗日中值定理 时的特例。从几何意义上讲，一定能找到与两个端点连线相平行的函数切线。这三个定理是从特殊情况推广到一般情况，如果理解了这些，相信大家也能很快地记住这三个非常重要的定理。